Nonlinear System Theory

소개

서울대학교 전기공학부 대학원 강의 (영어 강의)
2011년 2학기에 개설된 내용 (조교 윤형주, 김지수)

강사

Course Description

This course is to introduce fundamental concepts and techniques to deal with nonlinear dynamical systems, mostly for analyzing them in view of stability. Basic concepts such as Lyapunov stability, input-output stability, passivity are introduced. Some advanced tools such as center manifold theory, averaging, and singular perturbation are also discussed.

Prerequisite

"4541.512 Linear system theory" offered in Spring semester

교재

Textbook

Khalil, Nonlinear Systems, 3rd Edition, Prentice Hall, 2002.

Correction by the author: errata.pdf / Textbook homepage: http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems

Reference

S. Sastry, Nonlinear Systems, Springer, 1999.

J.E. Slotine and W. Li, Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991.

M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, 1993.

강의 동영상

- passcode: nst

- Lecture slide는 아래에서 다운 받을 수 있으며, 이는 Khalil의 책과 slide를 요약하거나, 좀 더 단순한 상황을 설정하여 다시 쓰여졌습니다.

Chap. 1: Introduction (1 class)

1-1 Description of Nonlinear Systems https://vimeo.com/74844227 (16:57)

1-2 Phase Portrait and Numerical Integration https://vimeo.com/74844903 (10:42)

1-3 Comparison between Linear and Nonlinear Systems 1 https://vimeo.com/75142773 (19:02)

1-4 Comparison between Linear and Nonlinear Systems 2 https://vimeo.com/75137541 (10:50)

1-5 Comparison between Linear and Nonlinear Systems 3 https://vimeo.com/74844902 (9:48)

비선형 시스템이 선형 시스템과 다른 특징을 나열하면서 비선형 시스템을 예제를 통해 소개하고 있습니다. 뒷부분에 나오는 용어가 나오더라도 대강의 의미만 파악한 후, 학습이 끝날 즈음 다시 돌아와서 읽어보는 것이 더 효과적일 수 있습니다.

Chap. 2: Second-order Systems (2 classes)

2-1 Behavior of Linear Systems 1 https://vimeo.com/74844905 (13:51)

2-2 Behavior of Linear Systems 2 https://vimeo.com/75137544 (35:11)

2-3 Behavior of Nonlinear Systems near Equilibrium https://vimeo.com/75137543 (21:08)

3-1 Bifurcation 1 https://vimeo.com/75137586 (29:49)*

3-2 Bifurcation 2 https://vimeo.com/75137583 (24:49)*

3-3 Existence of Periodic Orbits https://vimeo.com/75137584 (28:52)*

2차 시스템은 Phase portrait를 통하여 그 동적 양태를 완전히 파악할 수 있는 경우입니다. 선형 시스템의 고유벡터, 고유공간과 비교하여 비선형 시스템에 대한 이해를 높이기 위한 장이며, 일부 내용은 3장에서 다시 반복됩니다.

Chap. 3: Fundamental Properties (3 classes)

4-1 Existence and Uniqueness of Solutions (Introduction) https://vimeo.com/75137811 (15:55)

4-2 Existence and Uniqueness of Solutions 1 https://vimeo.com/75137810 (21:55) -> Updated to https://vimeo.com/106157377 (35:47)

4-3 Existence and Uniqueness of Solutions 2 https://vimeo.com/75142772 (19:45)

4-4 Existence and Uniqueness of Solutions 3 https://vimeo.com/75137812 (13:33)

5-1 Gronwall-Bellman Inequality https://vimeo.com/75142794 (14:04)

5-2 Continuous Dependence on Initial Condition and Parameters 1 https://vimeo.com/75142796 (11:28)

5-3 Continuous Dependence on Initial Condition and Parameters 2 https://vimeo.com/75142818 (29:50)

5-4 Sensitivity Analysis https://vimeo.com/75142795 (13:53)*

6-1 Comparison Lemma https://vimeo.com/75142847 (16:30)

6-2 Proof of Comparison Lemma https://vimeo.com/75142849 (14:33)

6-3 Examples for Comparison Lemma https://vimeo.com/75142848 (16:39)

비선형 시스템은 선형 시스템과 달리, 해의 존재성이나 유일성이 문제될 경우도 있습니다. 이와 같은 existence and uniqueness of solutions에 관해 공부합니다. 다소 수학적인 부분이나 여러 논문 등에서 이러한 부분을 다루는 것을 쉽게 이해하고 넘어가기 위해서는 꼭 알고 있어야 할 내용입니다. 또한, 본 강좌에서 사용될 여러 수학적인 기초 내용과, 안정도 증명에 사용될 comparison lemma도 학습합니다.

Chap. 4: Lyapunov Stability (5 classes)

7-1 Definitions regarding Stability https://vimeo.com/75142896 (21:07)

7-2 More Definitions for Lyapunov Theorem https://vimeo.com/75142897 (11:26)

7-3 Local Lyapunov Stability Theorem https://vimeo.com/75142910 (27:15)

7-4 Global Lyapunov Stability Theorem https://vimeo.com/75142898 (10:10)

7-5 Instability Theorem https://vimeo.com/75142895 (07:22)*

8-1 Invariance Principle (Terminology) https://vimeo.com/75931030 (15:57)

8-2 Invariance Principle https://vimeo.com/75931031 (26:03)

8-3 Examples for Invariance Principle https://vimeo.com/75931122 (18:12)

8-4 Stability by Linearization https://vimeo.com/75931032 (14:02)

9-1 Determining Stability by Linearization https://vimeo.com/75931066 (22:44)*

9-2 Class K and KL Functions https://vimeo.com/75931121 (17:11)

9-3 Proof. Construction of Class KL Function https://vimeo.com/75931067 (14:39)

9-4 Lyapunov Analysis using Class K and KL Functions https://vimeo.com/75931068 (13:59)

10-1 Stability of Time-varying Systems https://vimeo.com/75931142 (14:37)

10-2 Stability Theorem for Time-varying Systems https://vimeo.com/75931144 (17:04)

10-3 Linear Time-varying Systems and Linearization https://vimeo.com/75931175 (17:43)*

10-4 Converse Lyapunov Theorems https://vimeo.com/75931143 (17:37)

11-1 Intuition of Ultimate Boundedness https://vimeo.com/76507397 (18:41)

11-2 Ultimate Boundedness https://vimeo.com/76507398 (12:11)

11-3 Definition of Input-to-State Stability https://vimeo.com/76507450 (14:15)

11-4 Characterization of Input-to-State Stability https://vimeo.com/76507399 (18:25)

11-5 Input-to-State Stability of Cascaded Systems https://vimeo.com/76507400 (06:45)

본 강좌의 가장 핵심적인 부분이며 많은 시간을 할애해야 하는 부분입니다. Lyapunov 안정도를 학습하고, 이를 판별하기 위한 Lyapunov function을 도입합니다. 또한, 이를 확장한 LaSalle's theorem, 불안정도를 판별하기 위한 Chetaev's theorem 등을 학습합니다. 이론적인 연구에서 꼭 필요한 converse theorem, time-varying case에 대한 고려 등도 학습합니다.

Chap. 5: Input-output Stability (2 classes)

12-1 Basic Definitions https://vimeo.com/76507452 (19:40)

12-2 Definition of L Stability https://vimeo.com/76507500 (17:32)

12-3 L Stability of State Space Model 1 https://vimeo.com/76507453 (19:42)

12-4 L Stability of State Space Model 2 https://vimeo.com/76507454 (14:32)*

13-1 L2 Gain for LTI Systems https://vimeo.com/76507457 (13:08)

13-2 L2 Stability of Nonlinear Systems https://vimeo.com/76507501 (26:11)

13-3 Small-signal L2 Stability of Nonlinear Systems https://vimeo.com/76507758 (15:22)*

13-4 Small Gain Theorem https://vimeo.com/76507502 (14:06)

13-5 Application of Small Gain Theorem https://vimeo.com/76507458 (23:05)

4장까지는 입출력이 없는 비선형 시스템을 다루었다면, 5장과 6장에서는 입출력이 있는 비선형 시스템을 다룹니다. 5장에서는 시스템 gain의 입장에서 안정도를 정의하고, 이를 판별하는 법을 배웁니다. Hamilton-Jacobi 부등식 등을 배우며, 이 부분은 optimal control과의 연관성을 갖습니다. (optimal control을 배우지는 않습니다.) 선형 시스템의 비선형 확장으로도 생각할 수 있습니다.

Chap. 6: Passivity (3 classes)

14-1 Passivity of Static Map https://vimeo.com/77107149 (14:08)

14-2 Sector Condition https://vimeo.com/77107151 (16:29)

14-3 Passivity for Dynamic Systems https://vimeo.com/77107189 (11:32)

15-1 Positive Real Transfer Functions https://vimeo.com/77107150 (23:18)

15-2 Positive Real Lemma and KYP Lemma https://vimeo.com/77107152 (13:07)

15-3 Passivity and Stability https://vimeo.com/77107187 (32:55)

16-1 Feedback and Passivity Theorem https://vimeo.com/77107207 (22:03)

16-2 Stability of Feedback System via Passivity https://vimeo.com/77107190 (11:45)

16-3 Loop Transformation https://vimeo.com/77107188 (25:59)

Passivity는 안정도와 매우 유사하면서도 입출력을 가진 비선형 시스템을 다루는 데 있어 매우 유용합니다. Passivity는 어느 정도의 안정도 성질 뿐 아니라, 시스템의 구조적인 제한도 가지고 있습니다. 이는 고전적으로 회로이론의 정실함수(positive-real function)와 밀접한 연관을 가지고 있습니다. 또한, passivity에 기초한 비선형 제어이론도 매우 발달되어 있는 만큼 깊이 있는 학습이 필요한 부분입니다.

Chap. 7: Frequency Domain Analysis of Feedback Systems (3 classes)

17-1 Absolute Stability and Aizerman Conjecture https://vimeo.com/78059445 (11:03)

17-2 Circle Criterion https://vimeo.com/78059446 (12:46)

17-3 Graphical Interpretation of Circle Criterion https://vimeo.com/78059530 (36:19)

18-1 Popov Criterion https://vimeo.com/78059448 (24:26)*

18-2 Graphical Interpretation of Popov Criterion https://vimeo.com/78059447 (15:39)*

19-1 Describing Function Method https://vimeo.com/78059476 (20:47)*

19-2 Definition of Describing Function and an Example https://vimeo.com/78059477 (26:09)*

본 절에서는, 매우 오래 전부터 선형 시스템을 제어할 때 흔히 나타나는 saturation(구동기 포화) 등을 해석하기 위해서 도입된 absolute stability를 다룹니다. 따라서 동적인 비선형 시스템 보다는 주로 static한 비선형성이 주된 관심입니다. Circle/Popov criterion과 Describing function method가 소개되는데 각기 독립적인 내용이며, 4장을 학습한 이후에 바로 학습하거나, 순서에 상관없이 학습할 수 있습니다. Describing function 부분은 주교재가 아닌 보조교재 Slotine & Li의 책을 기초로 작성되어 있습니다. 주교재의 내용은 실제 적용보다는 이론적인 완결성을 추구하여 처음 학습할 때 내용이 다소 난해합니다.

Chap. 8: Advanced Stability Analysis (3 classes)

20-1 Introduction to Center Manifold https://vimeo.com/78710922 (21:22)*

20-2 Local Attractivity of Center Manifold (and preview) https://vimeo.com/78710921 (13:54)*

20-3 (Review and) Stability Determination by Reduced System https://vimeo.com/78711011 (26:07)*

20-4 Approximation of Center Manifold https://vimeo.com/78710923 (09:49)*

21-1 Region of Attraction https://vimeo.com/78710924 (27:22)*

21-2 Uniform Continuity of Functions https://vimeo.com/78711073 (08:26)

21-3 Barbalat's Lemma https://vimeo.com/78711072 (32:10)

22-1 Other Stability Theorems https://vimeo.com/78711009 (17:14)*

22-2 Stability of Periodic Solutions https://vimeo.com/78711010 (17:04)*

8장의 가장 중요한 내용은 1절의 center manifold theory 입니다. J. Carr의 책을 기초로 쓰여 진 본 절에서는 비선형 시스템이 평형점에서 허수축에 고유치를 가지는 Jacobian을 생성할 경우의 안정도 판별에 대한 내용을 다루고 있습니다만, center manifold theory는 여러 비선형동력학을 다루는 분야에서 매우 중요하게 사용됩니다. 증명은 매우 길고 난해하므로, 그 결과와 사용하는 방법을 중심으로 학습합니다. 다만, 이것에 대한 완전한 증명이 실려 있는 주교재 부록 C.15, C.16의 내용은 다른 책에서 찾아볼 수 있는 유용한 내용입니다. (수업에서는 다루지 않습니다.) 이 외에도 Region of attraction을 해석하는 Zubov's theorem와 Barbalat's lemma를 학습하는 Invariance-like theorem 등의 소절이 있습니다.

Chap. 9: Stability of Perturbed Systems (2 classes)

23-1 Vanishing Perturbation https://vimeo.com/78893784 (15:33)

23-2 Nonvanishing Perturbation https://vimeo.com/78893787 (19:02)

23-3 Comparison Method https://vimeo.com/78893813 (12:57)*

24-1 Continuity of Solutions on Infinite Time Interval https://vimeo.com/78893785 (08:53)*

24-2 Stability of Interconnected Systems https://vimeo.com/78893786 (10:08)

24-3 Slowly Varying Systems https://vimeo.com/78893812 (30:13)

실제 시스템에 대한 수학적 모델을 수립하는 경우, 많은 경우에 모델과 실제 시스템의 차이가 존재하고, 이는 모델이 가지고 있는 uncertainty로 해석됩니다. 우리가 수학적 모델만으로 실제 시스템의 안정도를 판별할 수 있는지, 할 수 있다면 어떤 조건하에서 가능한 지를 vanishing/non-vanishing perturbation으로 나누어 학습합니다. 특별히 9장 6절 "slowly varying systems"에서는 시스템의 파라메터가 천천히 변하고 각각의 파라메터에 대하여 시스템이 안정할 경우, 전체 시스템의 안정도가 보장된다는 내용을 학습합니다.

Chap. 10: Perturbation Theory and Averaging theory (1 class)

25-1 Averaging Theory https://vimeo.com/78893811 (39:48)

10장에서는 파라메터의 작은 변화에 대해서 비선형 시스템의 궤적이나 안정도가 어떻게 변화하는 지에 대한 수학적 해석법을 배웁니다. 다만, 한 학기 동안 진행되는 본 강좌에서 10장과 11장까지 학습하기에는 무리가 있기 때문에, 10장과 11장의 내용 중 가장 중요한 내용만을 발췌하여 수업을 진행합니다. 본 Lecture Notes는 10장 4절의 내용만 다루며, 교재의 내용에 추가하여 실제로 averaging theory를 왜 사용하는 지에 대한 부분을 포함하고 있습니다. Averaging theory는 비선형 시스템에 빠르게 변화하는 파라메터가 있을 경우 그것을 평균치로 근사한 비선형 시스템이 원래 시스템을 충분히 잘 묘사할 수 있음을 배웁니다.

Chap. 11: Singular Perturbations (2 classes)

26-1 Standard Singular Perturbation Model https://vimeo.com/79938093 (17:41)

26-2 Time Scale Separation Property https://vimeo.com/79938094 (29:27)

27-1 Slow Manifold https://vimeo.com/79938122 (17:58)*

27-2 Stability Analysis https://vimeo.com/79938095 (31:41)*

11장에서는 model reduction 등에 많이 쓰이는 singular perturbation 기법을 학습합니다. 이는 비선형 시스템 안에 빠르게 동작하는 요소와 느리게 동작하는 요소가 있고, 빠르게 동작하는 요소가 안정할 경우, 전체 시스템의 동작은 느린 요소의 동적 양태에 의존한다고 하는 Tikhonov의 정리를 근간으로 합니다. 본 교재에는, Lyapunov function를 사용하여 느린 요소와 빠른 요소에 대한 각각의 안정도로부터 전체 시스템의 안정도를 보장하는 방법을 포함하고 있으며, 이는 비선형 시스템을 '제어'하기 위한 제어기 설계에도 사용되게 됩니다.

주 교재의 12장부터는 비선형 시스템 해석이라기보다는 비선형 시스템을 제어하기 위한 제어 기법에 대한 이야기입니다. 이하의 내용은 전기컴퓨터공학부의 대학원 수업 "4541.705 비선형제어특론"에서 다루기 때문에 본 강좌에서는 다루지 않습니다.